Partie C : calcul de l'épargne de Julien

Dans le tableur qui modélise la stratégie de Julien, on remarque que tous les termes de la colonne \(\text{M}\) sont des termes d'une suite géométrique de premier terme \(v_0=1~001\) et de raison \(q=1{,}024\). On pose alors \((v_n)\) la suite de terme général \(v_n\) qui donne la valeur acquise de chaque versement de \(1~001\) € au bout de \(n\) années.
Ainsi, par exemple, \(v_5\) représente la valeur acquise par le versement de \(1~001\) € au bout de \(5\) années.
Or la somme totale \(S\) sur le livret en 2035 est la somme de ces valeurs acquises (la valeur acquise par le versement de 2035, puis celle de 2034, … , jusqu'à celle de 2025 qui représente le plus d'argent car elle aura passée 10 ans sur le compte).
\(S=1~001+1~001\times 1{},024+1~001\times 1{,}024^2+...+1~001\times 1{,}024^{10}\\ S=1~001(1+ 1{,}024+1{,}024^2+...+1{,}024^{10})\\\).
1. Expliquer pourquoi \(1{,}024\times S=1~001(1{,}024+1{,}024^2+1{,}024^3+...+1{,}024^{11})\).
2. Démontrer que \(S-1{,}024\times S=1~001(1-1{,}024^{11})\).
3. Déterminer la valeur de \(S\).
4. De façon générale, soit \(q\) un nombre positif, avec \(q\ne 1\), et \(n\) un entier naturel.
Démontrer que \(q^0+q^1+q^2+...+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\).